Решение задач

Двенадцатая книжка серии «Школьные математические кружки» посвящена одному из фундаментальных понятий математики – непрерывности и предназначена для занятий со школьниками 7–11 классов. В неё вошли разработки девяти занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности, задачами для самостоятельного решения и методическими указаниями для учителя. В приложении содержится список дополнительных задач и их решения. Отдельная часть этого раздела посвящена строгим формулировкам определений непрерывности и её свойств, а также формулировкам утверждений более высокого уровня, которые практически являются теоремами и фактами высшей математики. Для удобства использования заключительная часть книжки, как всегда, сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики.

Книга представляет собой практический курс для обучения программированию, основную часть которого составляет подборка около 200 задач. В ней делается попытка показать, как обучить программированию в школе за 16 уроков. Рассмотрены все алгоритмы из перечня, входящего в «Требования к уровню подготовки выпускников» согласно нормативным документам ЕГЭ. Большинство приведенных задач предполагают проверку их решений на системе тестов. Автоматическая проверка решений задач будет организована на сайте informatics.mccme.ru. Книга предназначена для учителей информатики и старшеклассников, изучающих информатику на профильном уровне или готовящихся к ЕГЭ по информатике. Пособие может быть использовано на кружковых и факультативных занятиях, а также в школах с углубленным изучением математики и информатики при изучении программирования учениками 8—9 классов.

Сборник содержит более 500 нестандартных задач по неорганической, органической и физической химии. Задачи разделены на несколько уровней сложности, ко всем задачам даны ответы и/или указания. Сборник предназначен в первую очередь для подготовки к олимпиадам и для дополнительных занятий по химии в школе: элективных курсов, школьных кружков. Однако он будет интересен не только школьникам и учителям, но и студентам, преподавателям, научным работникам – всем, кто связан с химией и интересуется красивыми и необычными химическими структурами и превращениями.

В книге изложены численные методы решения задач оптимизации. Приводятся теоретическое обоснование и краткие характеристики этих методов. Рассматриваются задачи минимизации функций в конечномерных и бесконечномерных пространствах, а также задачи оптимального управления процессами, описываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных. Для студентов вузов по специальности «Прикладная математика» и специалистов в области задач оптимизации.

Книга «Метод координат» является пособием для обучения школьников, проявляющих интерес к математике. Изложение идет от простейших, знакомых даже младшим школьникам вещей (координаты точки на прямой) и доходит до понятия о четырехмерном пространстве и его свойствах. Книга содержит большое количество задач разного уровня сложности. Она рассчитана прежде всего на учеников ОЛ ВЗМШ и других заочных математических школ, но будет полезна учителям средних и старших классов при проведении факультативов и в работе на уроках. Простота и ясность изложения делают книгу доступной для всех желающих самостоятельно заниматься математикой.

Эта книга, написанная группой авторов под руководством академика И. М. Гельфанда – одного из крупнейших математиков XX века, призвана опровергнуть расхожее мнение о тригонометрии как скучном и непонятном разделе школьного курса математики. Читателю предлагается взглянуть на знакомый предмет по новому. Изложение, сопровождающееся большим количеством задач, начинается «с нуля» и доходит до материала, выходящего довольно далеко за рамки школьной программы; тригонометрические формулы иллюстрируются примерами из физики и геометрии. Отдельная глава посвящена типичным приемам решения тригонометрических задач, предлагаемых на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения. Книга будет незаменимым помощником для школьников старших классов, преподавателей, родителей и всех интересующихся математикой.

Турнир городов – крупнейшее математическое соревнование школьников, проводящееся вот уже 30 лет. Его уникальность в том, что он доступен школьникам всего мира. Трудность задач самая разнообразная – от совсем легких до исключительно трудных, которые иной раз удавалось решить только 1-2 участникам. В настоящей книге представлены все задачи 30 турниров с краткими указаниями. Автор – один из «отцов-основателей» Турнира и его бессменный организатор на протяжении всех этих лет.

Книга содержит один из курсов математики в задачах, на протяжении ряда лет используемых в 57 школе города Москвы. В представленном виде курс преподавался классу «В» 2008 года выпуска. Часть 1 состоит из тем, изучавшихся в 8 классе. Задания снабжены решениями и комментариями. Многие сюжеты (листки) могут изучаться независимо. Книга адресована учителям математики, работающим в математических классах, руководителям кружков и факультативов и всем, кто интересуется обучением старшеклассников математике вне школьной программы.

Методы, используемые современной топологией, весьма разнообразны. В этой книге подробно рассматриваются методы комбинаторной топологии, которые заключаются в исследовании топологических пространств посредством их разбиений на какие-то элементарные множества, и методы дифференциальной топологии, которые заключаются в рассмотрении гладких многообразий и гладких отображений. Нередко одну и ту же топологическую задачу можно решить как комбинаторными методами, так и дифференциальными. В таких случаях обсуждаются оба подхода. Одна из главных целей книги состоит в том, чтобы продвинуться в изучении свойств топологических пространств (и особенно многообразий) столь далеко, сколь это возможно без привлечения сложной техники. Этим она отличается от большинства книг по топологии. Книга содержит много задач и упражнений. Почти все задачи снабжены подробными решениями.

Пособие включает основные и дополнительные материалы, полностью охватывающие обязательный минимум содержания начального образования по математике для 4 класса. Материал книги разделён на три части. Задачи всех видов и типов предоставляют отличную возможность для овладения навыками правильного решения и необходимого тренинга. Контрольные работы позволяют учителю проверить качество знаний ученика и выявить пробелы в усвоении тем. Контрольные карточки являются необходимым помощником для работы над ошибками и закрепления изученного материала. В конце книги даны ответы на все задания. Пособие может быть использовано для тренировки и практической отработки решения задач на уроках и дома.

Учебное пособие подготовлено на кафедре алгебры МПГУ и адресовано студентам математических факультетов педвузов. В нем рассматриваются не только необходимые теоретические основы начальных глав курса алгебры, но и приводится большое количество задач разного уровня сложности для того, чтобы их можно было использовать и школьному учителю, работающему, например, в классах с углубленным изучением математики или ведущему факультативные занятия. Ответы и указания к решению задач помогут читателю в его самостоятельной работе.

Книга основана на богатом опыте преподавания автора и предназначена для того, чтобы просто и наглядно ввести в метод граничных элементов как студентов, так и профессионалов. Предлагаемое издание позволит им использовать этот универсальный и мощный вычислительный инструмент для расчетов и проектирования. Материал четко систематизирован, что делает книгу легкой в изучении и использовании. Рассмотрены необходимые для изучения метода сведения из математики и механики. Программы, написанные на алгоритмическом языке ФОРТРАН, подробно представлены на сайте Издательства АСВ – www.iasv.ru. Они знакомят читателей с разработкой программного обеспечения метода граничных элементов и его использованием для решения инженерных проблем, таких как кручение стержней, прогиб мембран, изгиб пластин, теплопроводность, течение жидкости и плоские задачи теории упругости. Многочисленные иллюстративные примеры помогают прояснять рассматриваемые проблемы. Каждая глава содержит задачи, решения которых даны в приложении.

В книге представлены 100 примеров объемно-планировочных решений типовых этажей высотных зданий, проекты которых разработаны в последние годы проектным институтом провинции Гуандун и реализованы на юге Китая. Представлены проекты выдающихся зодчих: Государственного мастера проектирования, главного архитектора Го Ичана и главного архитектора Ху Чженчжуна, к сожалению, уже ушедших из жизни, а также замечательные работы архитекторов младшего поколения. Поиск оптимального планировочного решения типового этажа высотного здания различного функционального назначения является одной из ведущих творческих задач проектирования высотных сооружений. В связи с этим представленные в книге 100 примеров весьма поучительны, они отражают эволюцию решения планировочных задач в высотном строительстве для юга Китая и отражают развитие технологии проектирования. Наряду с примерами функциональных решений книга отражает тенденции и особенности решения экономических, эстетических конструктивных задач, а также проблем обеспечения требований безопасности в высотных сооружениях. Это делает книгу главным пособием по проектированию высотных зданий.

В книге представлены нетрадиционные гидравлические прикладные задачи: – задача о движении водяной струи, отбрасываемой носком-трамплином, включая оригинальные методики экспериментальных гидравлических исследований и обработки их результатов; – задача о гидравлических процессах струйной геотехнологии закрепления грунтов, включая рациональные приемы применения этой технологии. Кроме того, рассматриваются различные гидравлические устройства и гидравлические технологии: – устройства и сооружения, основанные на взаимодействии жидкостей и газов с гибкими конструкциями; – сифонный регулятор расхода воды (включая результаты экспериментальных исследований); – вихревые гидротранспортные устройства; – технология погружения в грунт пустотелых строительных конструкций с помощью вакуума; – гидравлическое безвакуумное грунтозаборное устройство; – методика, устройства и сооружения для осаждения взвешенных в потоке частиц; – технология промышленной добычи конденсационной воды из атмосферы.

Третья брошюра серии «Школьные математические кружки» посвящена текстовым задачам, решаемым «арифметическим методом». В ней приведены шесть занятий, в которых подобраны задачи, ориентированные в основном на работу со школьниками 5—6 классов. Все приведённые сюжетные задачи решаются путём прямых рассуждений, вытекающих из анализа конкретной ситуации. Конечно, большинство из них можно решить «алгебраически» (с помощью уравнений), но на начальном этапе обучения овладение арифметическим методом представляется очень важным для развития логического мышления школьников, для приобретения ими навыков анализа текста и умений рассуждать и делать правильные выводы. Надеемся, что книжка будет интересна учителям математики, руководителям математических кружков, студентам педагогических вузов и всем, кто занимается со школьниками.

В книге описан ряд классических идей решения олимпиадных задач, которые для большинства школьников являются нестандартными. Каждая идея снабжена комментарием, примерами решения задач и задачами для самостоятельного решения. Приведены подборки задач олимпиадного и исследовательского типов (всего 200 задач), которые сгруппированы по классам. Сборник адресован старшеклассникам, учителям, руководителям кружков и всем любителям математики.

Инверсия – отображение плоскости на себя, которое может переводить окружности в прямые. С одной стороны, это помогает решать «школьные» геометрические задачи, особенно те, в которых речь идёт о многих пересекающихся или касающихся окружностях. В то же время знакомство с инверсией необходимо для дальнейшего изучения таких разделов математики, как комплексный анализ и геометрия Лобачевского. После определения и вывода основных свойств инверсии в брошюре разбираются классические задачи Архимеда, Паппа, Аполлония. Рассказывается также об инверсии пространства, стереографической проекции сферы на плоскость, пучках окружностей и сфер, что приводит к доказательству знаменитой теоремы Понселе. Материал брошюры рассчитан на старшеклассников, учителей математики и всех интересующихся элементарной геометрией. Брошюра написана по мотивам лекции, прочитанной автором на Малом мехмате 28 февраля 2004 года.

Настоящая брошюра возникла на основе лекций, прочитанных автором на летней математической школе «Современная математика» в Дубне в 2006 г. В ней рассказывается о двух мощных методах современного дискретного анализа вероятностном и алгебраическом. Оба эти метода широко применяются сейчас для решения различных задач экстремальной комбинаторики. В частности, многие важные аспекты таких классических проблем, как проблема Борсука или проблема отыскания чисел Рамсея, рассматриваются исключительно с позиций вероятностной и алгебраической технологий. В брошюре на наиболее ярких примерах подобных задач излагаются основы методов. Необходимые сведения из (элементарной) теории вероятностей, анализа и алгебры приводятся в конце брошюры в специальном разделе. Брошюра доступна студентам младших курсов и даже школьникам. Однако полезна она может быть всем, кто интересуется комбинаторикой.

Книжка состоит примерно из двухсот задач, многие из них даны с решениями или комментариями. Эти задачи очень разнообразны – от традиционных задач, в которых нужно найти и как-то использовать то или иное множество точек, до небольших исследований, подводящих к важным математическим понятиям и теориям. Помимо обычных геометрических теорем о прямых, окружностях и треугольниках, в книге используются метод координат, векторы и геометрические преобразования, и особенно часто – язык движений. Некоторые логические тонкости, зачастую возникающие в решениях, оставлены читателю для размышления. Для школьников, учителей математики, руководителей кружков.

Книжка посвящена задачам, связанным с понятием чётности. В неё вошли разработки четырёх занятий математического кружка с подробно разобранными примерами различной сложности и методическими указаниями для учителя. Приведён большой список дополнительных задач с решениями. Большинство задач, рассмотренных в книжке, являются «классическими» для этого раздела математики. Для удобства использования заключительная часть книжки сделана в виде раздаточных материалов. Книжка адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьникам и их родителям, а также всем любителям математики.