Фракталы

Фрактальную геометрию открыл Бенуа Мандельброт в конце 1970-х годов. Фракталы появились на обложках глянцевых журналов и сразу привлекли внимание не только учёных и инженеров, но также дизайнеров и модельеров. Фракталы оказались полезными не только как математический инструмент для расчёта и описания сложных, рваных, «измятых» или изрезанных форм, но также для иллюстрации и интерпретации симбиоза на первый взгляд антагонистических идей и представлений. Мир не фрактален. Но фрактал блестяще иллюстрирует сложные сетевые структуры, которые не имеют фундаментальных элементов, не имеют «дна элементарности». Фрактал иллюстрирует единство формы, алгоритма и математического символа. Настоящая книга призвана популяризировать основные положения фрактальной геометрии вплоть до самых новейших.

Профессор и его ученик затеяли спор на философскую тему о фракталах. В результате ученик решил доказать, что профессор не прав. Поэтому он отправился проверять философию профессора на практике на улицах в Париже. Чем в итоге закончится его приключение по Парижу, вы узнаете в рассказе.

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2004 г. Она посвящена одному из разделов теории динамических систем – аттракторам и их хаусдорфовой (фрактальной) размерности. Рассматриваются различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы. В качестве основного примера странных аттракторов рассматривается соленоид Смейла—Вильямса, проводится аналогия между ним и канторовым совершенным множеством. От читателя не требуется никаких начальных знаний из теории дифференциальных уравнений. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.

Майкл Фрейм (род. 1951), математик, бывший профессор Йельского университета и коллега создателя фрактальной теории Бенуа Мандельброта, в своей книге исследует феномен скорби с точки зрения геометрии. Мы скорбим, потеряв близкого человека, домашнего питомца, прежний образ жизни – нечто любимое и важное для нас. Как могут фракталы, траектории и переменные уменьшить эту душевную боль? По утверждению Фрейма, понимание «геометрии» своих переживаний может помочь пережить утрату. Анализируя скорбь как необратимую потерю, он обращается к законам математики, литературным сюжетам, эволюционной биологии, личному опыту. С их помощью Фрейм выводит собственные теоремы, позволяющие увидеть и проанализировать через «самоподобие» жизненного выбора, теорию мультивселенной и проецирование негативных эмоций на разные «пространства» сознания сложную закономерность чувств, составляющих скорбь.

В сборник вошли статьи зарубежных математиков и художников-фракталистов, многие из которых хорошо известны в научных и художественных кругах. Проблематика книги связана с философскими и эстетическими смыслами фрактального искусства, представляющего собой особый художественный феномен конца ХХ – начала ХХI вв. Подборка статьей представляет собой попытку посмотреть на цифровое фрактальное искусство с нескольких ракурсов: математического, технологического, эстетического и философского. Большинство текстов не носит специально-математического характера и относится, скорее, к сфере digital humanities (цифровых гуманитарных наук). Многие статьи сборника впервые публикуются на русском языке. Книга представляет интерес для специалистов в области эстетики, философии искусства, культурологии и искусствоведения, преподавателей и студентов художественных специальностей, широкого круга читателей.

В сборник вошли статьи математиков и художников-фракталистов, многие из которых хорошо известны в научных и художественных кругах. Проблематика книги связана с философскими и эстетическими смыслами фрактального искусства, представляющего собой особый художественный феномен конца ХХ – начала ХХI вв. Подборка статей представляет собой попытку посмотреть на цифровое фрактальное искусство с нескольких ракурсов: математического, технологического, эстетического и философского. Большинство текстов не носит специально-математического характера и относится, скорее, к сфере digital humanities (цифровых гуманитарных наук). Многие статьи сборника впервые публикуются на русском языке. Книга представляет интерес для специалистов в области эстетики, философии искусства, культурологии и искусствоведения, преподавателей и студентов художественных специальностей, широкого круга читателей.

Эта книга включает дополненный и переработанный материал предыдущей работы автора «Просто Фрактал». Фрактальную геометрию открыл Бенуа Мандельброт в конце 1970‑х годов. Фракталы появились на обложках глянцевых журналов и сразу привлекли внимание не только учёных и инженеров, но также дизайнеров и модельеров. Фракталы оказались полезными не только как математический инструмент для расчёта и описания сложных, рваных, «измятых» или изрезанных форм, но также для иллюстрации и интерпретации симбиоза на первый взгляд антагонистических идей и представлений. Мир не фрактален. Но фрактал блестяще иллюстрирует сложные сетевые структуры, которые не имеют фундаментальных элементов, не имеют «дна элементарности». Фрактал иллюстрирует единство формы, алгоритма и математического символа. Настоящая книга призвана популяризировать основные положения фрактальной геометрии вплоть до самых новейших.

Фрактальная геометрия природы служит автору путеводной нитью в среде нелинейных и запутанных эффектов окружающей нас реальности. Фрактал иллюстрирует связность предметного и операционального посредством образа, знака, числа – посредством символа. Фрактализация демонстрирует такой сценарий перехода «от существующего – к возникающему», в котором акт действия и фактический результат, стянутые петлей обратного влияния, образуют единое неделимое целое, в котором притворство неотличимо от намерения, а прогнозы перманентно изменяют сами себе. Фрактальное моделирование, соединяя произвол и строгий расчет, открывает простор для рационального, фрактального менеджмента, актуального в условиях «символической экономики», в которой наиболее вознаграждаемыми являются сферы производства и воспроизводства функций, операций, программ; далее – знаков, в том числе денежных и, наконец, фантастических виртуальных образов. Фрактальная интерпретация не просто популяризирует новую картину реальности, но стимулирует креативные и экстравагантные решения, которые производят реальность новейшую на переднем крае науки, бизнеса, инжиниринга, управления.

Учебник представляет собой изложение курса «Фрактальная геометрия», преподаваемого студентам третьего курса бакалавриата. Курс посвящен системам итерированных преобразований и понятию детерминированного аттрактора. В учебнике изложены базовые понятия, основные определения и теоремы. Приведены доказательства основных теорем. Введено понятие динамической системы на аттракторе и приведены алгоритмы построения детерминированных фракталов с помощью как детерминированного, так и стохастического алгоритмов. Завершает изложение курса знакомство с понятием фрактальной размерности и различными методами ее вычисления. В конце каждой главы приведены упражнения. Изложение дополняют многочисленные примеры. Учебник предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлению подготовки 01.03.04.

Брошюра написана по материалам лекции, прочитанной автором в летней школе «Современная математика» в Дубне в июле 2004 г. Она посвящена одному из разделов теории динамических систем – аттракторам и их хаусдорфовой (фрактальной) размерности. Рассматриваются различные примеры отображений, порождающие как странные, так и классические аттракторы. В качестве основного примера странных аттракторов рассматривается соленоид Смейла—Вильямса, проводится аналогия между ним и канторовым совершенным множеством. От читателя не требуется никаких начальных знаний из теории дифференциальных уравнений. Брошюра адресована старшим школьникам и студентам младших курсов.

Профессор и его ученик затеяли спор на философскую тему о фракталах. В результате ученик решил доказать, что профессор не прав. Поэтому он отправился проверять философию профессора на практике на улицах в Париже. Чем в итоге закончится его приключение по Парижу, вы узнаете в рассказе.

Непостижимые формы, динамичные и призрачные, завораживают зрителей. Почему фракталы обладают таким мощным воздействием? Психологи отметили, что при погружении во фрактальные паттерны сознание зрителя вступает в резонанс с ними: левое полушарие перестает реагировать на внешние факторы, «просыпается» подсознание, которое отвечает за наше самосовершенствование; резко возрастает концентрация внимания, обостряется интуиция, находятся ответы на давние мучительные вопросы. Фрактал-арт стал к началу XXI века инструментом освоения мира – ведь искусство жадно впитывает достижения новых технологий. На сегодняшний день в жанре фрактального медиа-арта работают несколько сотен художников, обладающих неповторимым стилем, они бесконечно разнообразны в своих приемах. В настоящий сборник вошли статьи самых ярких арт-фракталистов, рассматривающие эстетику и философию нового искусства, в также их работы, дающие представление о сложности через повторение, о бесформенном, на глазах обретающем форму, о прекрасном упорядоченном хаосе, из которого состоит наша Вселенная. Издание предназначено всем, кто заинтересован изучением визуальных практик и созданием фрактальных композиций.